1¶
$ \lim_{x \to \infty}x \{\log(x+1) - \log x\} $を求めよ¶
$ 与式 = \lim_{x \to \infty} x \log\frac{x+1}{x} = \lim_{x \to \infty} x \log(1+\frac{1}{x}) $
$h = \frac{1}{x}$ とすると 与式 $ =\lim_{h \to 0} \frac{\log(1 + h) }{h} =\lim_{h \to 0} \frac{\log(1 + h) -\log(1)}{h} $ となる
これは$\log x$の導関数の定義 $ \lim_{h \to 0} \frac{\log(x + h) -\log(x)}{h} $ に $ x = 1$ を代入したものと同じである。
$ \log x $の導関数は$\frac{1}{x}$であるから $ \lim_{h \to 0} \frac{\log(1 + h) -\log(1)}{h} = \frac{1}{1} = 1 $
$ \lim_{x \to \infty} x\{\log(x+1) +\log(x+2) +\log(x+3) - 3\log x\} $を求めよ¶
上と同じように式を変形すると
$$ \begin{align} 与式 &= \lim_{h \to 0} \{\frac{\log(1 + h)}{h} + \frac{\log(1 + 2h)}{h} + \frac{\log(1 + 3h)}{h} \} \\ &= \lim_{h \to 0} \{\frac{\log(1 + h)}{h} + 2\frac{\log(1 + 2h)}{2h} + 3\frac{\log(1 + 3h)}{3h} \} \\ &= 1 + 2+ 3 = 6 \end{align} $$2¶
方程式 $ x^2 + 2px + q = 0$ の二つの実数解を $a, b$ とする。$|a-b| = 4$ のとき、$q$ を $p$ で表せ¶
$ x^2 + 2px + q = (x -a)(x-b) $であるので$ a + b = -2p, ab = q$
$ \begin{align} |a-b| &= 4 \\ a^2 - 2ab +b^2 &= 16 \\ (a+b)^2 - 4ab &= 16 \\ 4p^2 - 4q &= 16 \\ q &= p^2 - 4 \end{align} $
$a^2+b^2 = 26$ のとき $p,q$ を求めよ¶
$$ \begin{align} a^2+b^2 = (a + b)^2 - 2ab =4p^2 - 2q &= 26 \\ 4p^2 - 2(p^2-4) &= 26 \\ 2p^2 &= 18 \\ p &= \pm 3 \\ q = 3^2 - 4 = 5 \end{align} $$3¶
$ \log_x\frac{1}{2} \lt 2$ を解け¶
$ 左辺 = \frac{\log_2\frac{1}{2}}{\log_2 x} = \frac{-1}{\log_2 x} $
真数条件より $x > 0 \longleftarrow 条件1 $
$ \log_2 x > 0 $すなわち$ x > 1 \longleftarrow 条件2$ のとき $ \frac{-1}{\log_2 x} < 2 $ は常に成立する。
$ x < 1$ のとき
$ \begin{align} \frac{-1}{\log_2 x} &< 2 \\ log_2 x &< -\frac{1}{2} \\ x &< \frac{1}{\sqrt{2}} \longleftarrow 条件3 \end{align} $
条件1-3をまとめると
$ 0 < x < \frac{1}{\sqrt{2}} $ または $ 1 < x $
4¶
微分可能な関数 $g(x)$が $ \lim_{x\to 0} \frac{g(x)}{x} = 4 $を満たすとき、 $f(x) = x^2-2x+3+g(x)$と定義する。$f(0)$および$f'(0)$を求めよ¶
$ \lim_{x\to 0} \frac{g(x)}{x} = 4 $ と値が収束するので $g(0) = 0$。よって $ f(0) = 3 + g(0) = 3$
$ g'(0) = \lim_{x\to 0} \frac{g(0 + x) - g(0)}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{g(x)}{x} = 4$
$ f'(x) = 2x -2 + g'(x) $ なので $f'(0) = -2 + g'(0) = 2$
5¶
$2 \sin \frac{\pi}{9} \sin \frac{2\pi}{9} = - \cos \frac{\pi}{x} + \cos \frac{\pi}{9}$ をとけ¶
三角関数の積と和の公式を覚えていないのでつくる $$ \begin{align} \cos(a + b) &= \cos a \cos b - \sin a \sin b \\ \cos(a - b) &= \cos a \cos b + \sin a \sin b \\ \therefore \cos(a + b) - \cos(a - b) &= -2\sin a \sin b \\ ついでに \cos(a + b) + \cos(a - b) &= 2\cos a \cos b \\ \end{align} $$
$$ \begin{align} \frac{\pi}{x} &= \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi}{9} \\ x &= 3 \end{align} $$$2 \cos \frac{\pi}{9} \sin \frac{4\pi}{9} = \sin \frac{5\pi}{9} + \sin \frac{\pi}{x}$ をとけ¶
$$ \begin{align} \sin(a + b) &= \sin a \cos b + \cos a \sin b \\ \sin(a - b) &= \sin a \cos b - \cos a \sin b \\ \therefore\sin(a + b) + \sin(a - b) &= 2\sin a \cos b \\ ついでに \sin(a + b) - \sin(a - b) &= 2\cos a \sin b \\ \end{align} $$$$ \begin{align} \frac{\pi}{x} &= \frac{4\pi}{9} - \frac{\pi}{9} \\ x &= 3 \end{align} $$$ \sin \frac{\pi}{9} \sin \frac{2\pi}{9} \sin \frac{4\pi}{9} $ を計算せよ¶
$$ \begin{align} \sin \frac{\pi}{9} \sin \frac{2\pi}{9} &= \frac{1}{2}(-\cos \frac{\pi}{3} + \cos \frac{\pi}{9})\\ &= -\frac{1}{4} + \frac{1}{2}\cos\frac{\pi}{9} \\ (-\frac{1}{4} + \frac{1}{2}\cos\frac{\pi}{9} )\sin \frac{4\pi}{9} &= -\frac{1}{4}\sin \frac{4\pi}{9} + \frac{1}{2}\cos\frac{\pi}{9}\sin \frac{4\pi}{9} \\ &= -\frac{1}{4}\sin \frac{4\pi}{9} + \frac{1}{4} ( \sin \frac{5\pi}{9} + \sin \frac{\pi}{3}) \\ &= \frac{1}{4}(-\sin \frac{4\pi}{9} + \sin \frac{5\pi}{9} + \sin \frac{\pi}{3}) \\ &= \frac{1}{4}(\frac{\sqrt{3}}{2}) \because \sin \frac{4\pi}{9} = \sin \frac{5\pi}{9} \\ &= \frac{\sqrt{3}}{8}\\ \end{align} $$6¶
座標平面上に2点 A(-2, 1), B(1, 5)をとる。実数 $t$ に対して $ \vec{p} = \overrightarrow{ OA } + t \overrightarrow{ AB }$ とする。$|\vec{p}|$ の最小値を求めよ。¶
$$ \vec{p} = (3t-2, 4t +1) \\ |\vec{p}| = \sqrt{(3t-2) ^ 2 + ( 4t +1) ^2} = \sqrt{25t^ 2 - 4t +5} = \sqrt{(5t - \frac{2}{5})^ 2 + \frac{121}{25}} \\ $$$ t = \frac{2}{25} $のとき 最小値 $\frac{11}{5}$
$|\vec{p}|$ が最小のとき $\vec{p}\cdot\overrightarrow{ AB }$ を求めよ¶
$|\vec{p}|$が最小のとき$\vec{p}\perp\overrightarrow{ AB }$よって $\vec{p}\cdot\overrightarrow{ AB }=0$
三角形 $\triangle OAB $ の面積を求めよ¶
$$ \begin{align} AB &= \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \\ \triangle OAB &= \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot \frac{11}{5} = \frac{11}{2} \end{align} $$options(repr.plot.width=4, repr.plot.height=2)
par(mar = c(1, 1, 1, 1), xpd = T)
A <- c(-2, 1)
B <- c(1, 5)
O <- c(0, 0)
plot(rbind(A, B, O), pch = 20, xlim = c(-5, 5), ylim = c(-5, 5), xlab = "", ylab = "", axes = FALSE)
abline(h = 0); abline(v = 0)
text(rbind(A, B, O - c(0.2, 0)), c("A", "B", "O"), pos = c(2, 4, 1), xpd = T)
arrows(A[1], A[2], B[1], B[2])
7¶
A君は正12面体のサイコロを1個ふり、B君は正6面体のサイコロを2個ふる。A君の目がB君の目の合計よりも大きくなる確率をもとめよ¶
B君の合計が2から11になる目のでかたはそれぞれ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2 通りある。
B君の合計が2以下から11以下になる目のでかたはそれぞれ 1, 3, 6, 10, 15, 21, 26, 30, 33, 35 通りある。
これを36で割るとA君が3から12を出したときにB君を上回る確率となる。A君が3から12を出す確率はそれぞれ$\frac{1}{12}$なのでこれをかけて、合計したものが求めるべき確率である。
$$ sum(1, 3, 6, 10, 15, 21, 26, 30, 33, 35) / 36 / 12 = \frac{5}{12} $$# B君の目の合計 (A君が勝てる可能性だけを考える)
2:11
# その組み合わせ
B <- c(1:5, 6:2); B
# B君の累積組み合わせ
cumsum(B)
# 合計
sum(cumsum(B))