1¶
$ x + y = \sqrt{13}, xy = 3 $のとき $ \frac{y}{x}+\frac{x}{y}, \frac{y^3}{x^3}+\frac{x^3}{y^3} $ の値を求めよ¶
$$ \begin{align} (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = x^2 + y^2 + 6 &= 13 \\ x^2+y^2 &= 7 \\ \end{align} $$$$ \begin{align} \frac{y}{x}+\frac{x}{y} = \frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{7}{3}\\ \end{align} $$$$ \begin{align} (x^2+y^2)^3 = x^6 + 3x^4y^2 + 3x^2y^4+y^6 = x^6 + y^6 + 3x^2y^2(x^2 + y^2) &= 7^3 \\ x^6+y^6 &= 7(7^2 - 3 \cdot 9) = 154 \\ \end{align} $$$$ \begin{align} \frac{y^3}{x^3}+\frac{x^3}{y^3} = \frac{x^6 + y^6}{x^3y^3} = \frac{154}{27}\\ \end{align} $$4¶
$ y = -2x + 4$上の点 $P(x,y)$ と $O(0,0)$の最小値を求めよ¶
$ PO^2 = x ^ 2 + (-2x + 4) ^ 2 = 5x^2 -16x + 16 = 5(x - \frac{8}{5})^2 + \frac{16}{5}$
よって $x = \frac{8}{5}$のとき$\frac{4\sqrt{5}}{5}$
$OP \lt 10 $ となるときの $x$の範囲を求めよ¶
$$ \begin{align} 5x^2 -16x + 16 &\lt 100 \\ (5x + 14)(x - 6) &\lt 0 \\ \frac{14}{5} &\lt x \lt 6 \end{align} $$5¶
$ \triangle ABC$の辺ABを1:1、辺BCを3:2、辺CAを1:3に内分する点をそれぞれD, E, Fとするとき、$ \frac{\triangle ADF}{\triangle ABC} $と$ \frac{\triangle DEF}{\triangle ABC} $を求めよ¶
$$ \begin{align} \triangle ADF &= \triangle ABC \times \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{8} \triangle ABC \\ \triangle BDE &= \triangle ABC \times \frac{1}{2} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{10} \triangle ABC \\ \triangle EFC &= \triangle ABC \times \frac{1}{4} \times \frac{2}{5} = \frac{1}{10} \triangle ABC \\ \triangle DEF &= \triangle ABC (1 - \frac{3}{8} - \frac{3}{10} - \frac{1}{10}) = \frac{9}{40} \triangle ABC \end{align} $$In [1]:
options(repr.plot.width=4, repr.plot.height=4)
par(mar = c(1, 1, 1, 1), xpd = T)
A <- c(3, 4)
B <- c(0, 0)
C <- c(4, 0)
D <- A * 1/ 2 + B * 1 / 2
E <- B * 2 / 5 + C * 3 / 5
F <- A * 1 / 4 + C * 3 / 4
plot(rbind(D, E, F), pch = 20, xlim = c(0, 5), ylim = c(0,5), axes = FALSE, xlab = "", ylab = "")
polygon(rbind(A, B, C))
polygon(rbind(D, E, F), lty = "dashed")
text(rbind(A, B, C, D, E, F), c("A", "B", "C", "D", "E", "F"), pos = c(3, 2, 4, 2, 1, 4), xpd = T)
3¶
$\triangle ABC$が$\tan B = \frac{1}{3}$と$\tan C = 2$を満たすとき、$\cos A$を求めよ¶
$$ \begin{align} \tan B &= \frac{1}{3} より BH=3, AH = 1, AB = \sqrt{10} \\ \tan C &= 2 より CH = \frac{AH}{2} = \frac{1}{2}, AC = \frac{\sqrt{5}}{2} \\ BC &= \frac{7}{2} \\ \cos A &= \frac{AB ^ 2 + AC ^ 2 - BC ^ 2}{2 AB \cdot AC} = \frac{10 + \frac{5}{4}-\frac{49}{4}}{2\sqrt{10}\frac{\sqrt{5}}{2}} \\ &= -\frac{\sqrt{2}}{10} \end{align} $$In [2]:
options(repr.plot.width=4, repr.plot.height=2)
par(mar = c(1, 1, 1, 1), xpd = T)
A <- c(3, 1)
B <- c(0, 0)
C <- c(3 + 1/ 2, 0)
H <- c(3, 0)
plot(H[1], H[2], pch = 20, xlim = c(0, 6), ylim = c(0,1.5), xlab = "", ylab = "", axes = FALSE)
polygon(rbind(A, B, C))
segments(A[1], A[2], H[1], H[2])
text(rbind(A, B, C, H), c("A", "B", "C", "H"), pos = c(3, 2, 4, 1), xpd = T)
8¶
等式 $x + y + z = 8$ を満たす負でない整数$x, y, z$の組の個数を求めよ¶
1番小さいものが0である組み合わせ (0, 0, 8), (0, 1, 7), (0, 2, 6), (0, 3, 5), (0, 4, 4)
1番小さいものが1である組み合わせ (1, 1, 6), (1, 2, 5), (1, 3, 4)
1番小さいものが2である組み合わせ (2, 2, 4), (2, 3, 3)
全て違う数字が使われているのが5組あり、x, y, zの並び順は6通りあるので $ 5 \times 3! = 30 $
同じ数字が使われているのが5組あり、x, y, z の並び順は3通りあるので $ 5 \times \frac{3!}{2!} = 15$
合計 45
正の整数$x, y, z$の組の個数を求めよ¶
全て違う数字が使われているのが2組あり、x, y, zの並び順は6通りあるので $ 2 \times 3! = 12 $
同じ数字が使われているのが3組あり、x, y, z の並び順は3通りあるので $ 3 \times \frac{3!}{2!} = 9$
合計 21