1

$ (\log_3 4+\log_9 4)(\log_2 27 +\log_4 9) $を計算せよ

$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} $と $\log a^b = b\log a$を使うと $$ \begin{align} &\log_3 4 = 2\log_3 2 \\ &\log_9 4 = \frac{\log_3 2^2}{\log_3 3^2} = \log_3 2 \\ &\log_2 27 = \frac{\log_3 3^3}{\log_3 2} = \frac{3}{\log_3 2} \\ &\log_4 9 = \frac{\log_3 3^2}{\log_3 2^2}= \frac{1}{\log_3 2} \\ \end{align} $$ $$ a = \log_3 2 とすると(2a + a)(\frac{3}{a} + \frac{1}{a}) = 3a\frac{4}{a} = 12 $$

2

$ x^2 - 2ax+a^2-1 = 0$が二つの実数解$\alpha$と$\beta$ を持ち、$\alpha<1 かつ \beta > 1$となるための$a$の必要十分条件をもとめよ。

$$ \begin{align} x^2 - 2ax+a^2-1 = (x-a)^2 -1 &= 0 \\ x -a &= \pm 1 \\ x &= a \pm 1 \end{align} \\ a - 1<1 から a < 2\\ a + 1 > 1 から a > 0\\ よって 0 < a < 2 $$

3

実数 $x, y$が$0 \leqq x \leqq \pi, -\frac{\pi}{2} \leqq y \leqq \frac{\pi}{2}, \cos x = \frac{3}{5}, \sin y = \frac{7}{25} $を満たすとき、$\tan(x+y)$の値を求めよ。

$ \sin^2 \theta +\cos^2 \theta = 1 $ から $ \sin x = \pm \sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}= \pm \frac{4}{5}$, $x$の範囲から$\sin x > 0$なので$\sin x = \frac{4}{5}$

同様に$ \cos y = \pm \sqrt{1-(\frac{7}{25})^2}= \pm \frac{24}{25}$, $y$の範囲から$\cos y > 0$なので$\cos y = \frac{24}{25}$

$$ \begin{align} \tan (x+y) &= \frac{\sin(x+y)}{\cos(x+y)} =\frac{\sin x\cos y + \cos x \sin y}{\cos x\cos y- \sin x \sin y}\\ \sin x\cos y + \cos x \sin y &= 4/5\cdot24/25 + 3/5\cdot7/25 = (96 + 21) / (5\cdot125) = 117 / (5\cdot125)\\ \cos x\cos y- \sin x \sin y &= 3/5\cdot24/25 - 4/5\cdot7/25 = (72 - 28) / (5\cdot125) = 44 / (5\cdot125)\\ \tan (x+y) &= \frac{117}{44} \end{align} $$

5-1

9人の学生をA, B, Cの部屋にそれぞれ2人、3人、4人入れる方法は何通りあるか。

9人の並び順は$9!$。2人、3人、4人の並び順はそれぞれ$2!, 3!, 4!$

よって $ \frac{9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1\cdot0}{(2\cdot1)(3\cdot2\cdot1)(4\cdot3\cdot2\cdot1)} = 9\cdot4\cdot7\cdot5 = 1260$

5-2

9人の学生を2人、2人、5人のグループに分ける方法は何通りあるか。

5-1と同様に $ 9! / 2! / 2! / 5! = 9\cdot2\cdot7\cdot6 = 756$

2人のグループに区別がないので $ 756 / 2! = 378$

5-3

9人の学生を3人ずつのグループに分ける方法は何通りあるか。

5-2と同様に $ 9! / 3! / 3! / 3! / 3! = 9! / (9\cdot4) / 3! / 6 = 8\cdot7\cdot5 = 280$

6

空間内の4点 (a, 3, 0), (0, a, 3), (3, 0, a), (4, 4, 4)が正四面体の4頂点となるときのaを求めよ

$$ \begin{align} 1辺の長さの2乗 &= (a - 0) ^2 + (3 - a) ^ 2+ (0 - 3) ^ 2 \\ &= a^ 2+ 9 - 6a + a^2 + 9 \\ &= 2a^2 - 6a + 18 \quad 式1 \\ 1辺の長さの2乗 &= (a - 4) ^2 + (3 - 4) ^ 2+ (0 - 4) ^ 2 \\ &= a^ 2+ - 8a + 16 +1 + 16 \\ &= a^2 - 8a + 33 \quad 式2 \\ 2a^2 - 6a + 18 &= a^2 - 8a + 33 \\ a^2 + 2a -15 &= 0 \\ a &= 3, -5 \end{align} $$

辺の長さの比を求めよ

$a=3$のとき正四面体の1辺は $\sqrt{3^2-8\cdot3+33} = 3\sqrt{2}$

$a= -5$のとき $\sqrt{(-5)^2-8\cdot(-5)+33} = 7\sqrt{2}$

よって $\frac{3}{7}$

7

$f(x) = \log x - \log(4-x)$とするとき、$f(a) = 0$となる$a$を求めよ

$$ \begin{align} \log a - \log(4-a) = \log\frac{a}{4-a} &= 0 \\ \frac{a}{4-a} &= 1 \\ 2a &= 4 \\ a&=2 \\ \end{align} $$

$g(x) = f(x) - k(x - a)$とするとき$g'(x)$の最小値を求めよ

$$ \begin{align} g'(x) = f'(x) -k &= \frac{1}{x} + \frac{1}{4-x} - k \\ &= \frac{4-x + x}{x(4-x)} - k \\ &= \frac{4}{-x^2+4x} - k \\ &= \frac{4}{-(x - 2)^2+4} - k \end{align} $$

$x = 2$のとき$-(x - 2)^2+4$は最大値4をとり、$g'(x)$ は$\frac{4}{4} -k = 1 - k$で最小値をとる

$g(x) = 0$が異なる3つの実数解を持つための$k$の条件を求めよ

$g(x)=0$が異なる3つの実数解を持つためには$g'(x)$が正負の値をとる必要がある($g'(x)$が常に正もしくは負の場合、$g(x)$は単調増加もしくは減少関数となり、3つの実数解をもたない)。

最小値$1-k$ が 0より小さければ$g'(x)$は正負両方の値をとる。よって$k > 1$。

In [31]:
k <- c(0, 1, 2, 4)
for(i in 1:length(k)){
    curve(log((x)/(4-x))-k[i]*(x-2), from = 0, to = 4, col = rainbow(length(k))[i], add =i != 1)
}
legend('top', legend = k, col = rainbow(length(k)), lwd = 2)